◆秋山 仁

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図1①のような細長いテープ状の長方形ABCDがあります。この両端（AとD、BとC）を貼り合わせれば「普通の輪（リング）」ができます。これに対し、この長方形のどちらか片方の端を半ひねり（180度回転）してから両端（AとC、BとD）を貼り合わせてできる〝ねじれた輪〞を「メビウスの輪」といいます（図１）。ただし、ひねる方向はどちらでも構いません。

図１．メビウスの輪

メビウスの輪には向きがある

メビウスの輪には、向きに関して２通りあります。それらは見た目だけではなかなか識別できません。それらを判別するための「Δデルタチェック」という方法を紹介しましょう。図２のように、メビウスの輪をつぶして平たい三角形に折り畳みます（メビウスのデルタ化）。この時、三角形の3つの辺は、最上層（折り目の両端が山折りになっている）、中間層（両端が山折りと谷折りになっている）、および最下層（両端が谷折り）の３層構造をしています。最上層をⅠ、中間層をⅡ、最下層をⅢとします。

図２．メビウスの輪のデルタ化

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲの並び順が時計回りのメビウスの輪を「α タイプ」と呼び、一方、反時計回りの輪を「βタイプ」と呼ぶことにします（図３）。ちなみに、メビウスの輪を裏返しにしても、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲの方向は変わりません。Δチェックをすることによって、どのメビウスの輪についても、それがα 、β のどちらのタイプなのかを決定できるのです。

図３．Δチェック

メビウスの輪を使った恋占いとその数理を紹介しましょう。

赤とピンクの十文字テープがあります（図４）。その赤いテープ、ピンクのテープのそれぞれについて、片方の端を半ひねりしてから両端を貼り合わせます（図５）。こうして、2つのメビウスの輪が直交した形を作ります。これを「ダブル・メビウス」と呼ぶことにします（図６）。なお、2つのメビウスの輪は、図６の上図のように2つの輪が向き合っていても、下図のように2重に重なるようになっていても構いません。

図４

図５

図６

この２つの輪それぞれを中央の線（図６の点線）に沿って切った時、2つのハートが絡んで現れるか否かで恋の行方を占います。

実は、ダブル・メビウスを構成する２つのメビウスの輪のそれぞれについて、Δチェックすると、図７のように、３種類のタイプ（αβ、αα 、ββ）に分類されます。

図７

そして、αβタイプの輪を２等分すると２ つのハートの輪が絡み（図8a）、それ以外の輪を２等分するとハートの輪がバラバラに離れて現れるのです（図8b）。

図８a

図８b

頭をひねって新発見

冒頭のテープから作ったひねりのない「普通の輪（リング）」は、表（外側）と裏（内側）の2つの面があります。それに対して、メビウスの輪は表も裏もありません。すなわち1つの面しか持たない世にも不思議な物体です。実際に作って確かめてみてください。メビウスの輪の性質を応用して、従来ははリング状だったものをメビウスの輪に変えることによって、寿命や耐久性が２倍になるベルトコンベヤー、インクリボン、カセットテープなどが考案され、1950年頃に特許が取られています。